已知函数 f（x)=(2^x-1)/(2^x+1) (1)求函数的值域 （2)判断证明函数的单调性

解析函数属于复合函数:
设t=2^x (t>0)
f(x)=(t-1)/(t+1)=1-2/(t+1) (分离常数法)
∵t>0
∴t+1>1 -2<(-2)/(t+1)<0 (反比例函数,数形结合易得)
得 -1<1-2/(t+1)<1
∴函数的值域为(-1,1)

此函数是增函数.
证明如下:(定义法)
设 X1 X2是R上的任意两实数,且满足 X2 > X1
Δy=f(X2) - f(X1) = (代入原函数解析式)
整理得: Δy=[2(2^X2 - 2^X1)]/{(2^X1 +1)(2^X2 +1)}
依据指数函数单调性易知 2^X2 -2^X1 >0 2^x>0
∴原函数为增函数

(复合函数法)
设t=2^x (t>0) t是增函数
y=1-2/(t+1) 在t>0上是增函数 (可以数形结合,不过不太推荐求导)
同增异减得f(x)是增函数

1.y=(2^x-1)/(2^x+1)
移项y*(2^x-1)=2^x+1
2^x(y-1)=-1-y
2^x=(y-1)/(-y-1)
∵2^x＞0
∴(y-1)/(-y-1)＞0
∴y∈(-1,1)
2.∵(2^x-1)是单调增函数
(2^x+1)是单调增函数
∴相除依然是单调增函数
∴ f（x)在R上单调递增
当然你也可以用定义证

1.
设2^x=t>0
原式=f(t)=t^2-1>-1
y的值域>-1
2.
f'(t)=2t>0，所以f(x)是增函数。